\chapter{Несобственные интегралы}
\section{Определение и простейшие свойства несобственного интеграла I рода}
  Будем рассматривать лучи, направленные только к \(+\infty\). Иначе можно
  заменить \(x\) на \(-x\).
  \definition[несобственный интеграл первого рода]{
    Пусть \(f(x) : [a, +\infty) \to \realnum\). Такой предел называется
    \defined{несобственным интегралом первого рода}: \[
      \int\limits_a^{+\infty} f(x)dx \equiv \lim\limits_{A \to +\infty}
      \int\limits_a^A f(x)dx
    \]. Если этот предел существует, говорят, что \defined[сходимость
    интеграла]{интеграл сходится}.
  }
  Самое простое наблюдение: \[
    \lim\limits_{A \to +\infty} \int\limits_a^A f(x)dx = \lim\limits_{A \to
    +\infty} F(A) - f(a)
  \]. То есть, интеграл сходится, если
  первообразная имеет предел на бесконечности. Другими словами, если мы нашли
  первообразную и её предел -- вопрос решён.
  
  Но встречаются случаи, когда первообразную не найти, а сходимость интеграла
  интересует.
  
  Сделаем отступление: введём аналог фундаментальности для функции.
  \begin{theorem}[аналог фундаментальности для функции]
    Пусть \(\varphi(x) : [a, b] \to \realnum\).  \(\lim\limits_{x \to +\infty}
    \varphi(x)\) существует и конечен если и только если \[
      \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{L} : \forall{x_1, x_2 > L} \quad\quad
      \abs{\varphi(x_1) - \varphi(x_2)} < \varepsilon
    \].
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    \begin{leftproof}[\(\lim\limits_{x \to + \infty} \varphi(x) = \alpha \in \realnum\)]
      Рассмотрим некоторый \(\varepsilon > 0\). Для него \[
        \exists L_0 > 0 : \forall{x > L_0} \quad \quad \abs{\varphi(x) - \alpha}
        < \frac{\varepsilon}{2}
      \].
      
      Если \(x_1, x_2 > L_0\), то
      \{
        \[
          \abs{\varphi(x_1) - \alpha} < \frac{\varepsilon}{2}
        \], \[
          \abs{\varphi(x_2) - \alpha} < \frac{\varepsilon}{2}
        \]
      \}
      Тогда \(\abs{\varphi(x_1) - \varphi(x_2)} < \varepsilon\).
    \end{leftproof}
    \begin{rightproof}[\[
        \forall \varepsilon_0 ~ \exists{L_0} : \forall{x_1, x_2 > L_0}
        \quad\quad \abs{\varphi(x_1) - \varphi(x_2)} < \varepsilon_0
      \]]
      Рассмотрим последовательность \(\{a_n\}_{n = 1}^{\infty}\), \(a_n \to
      +\infty\), \(a_n \in [0, +\infty)\).

      Утверждается, что \(\left\{\varphi(a_n)\right\}_{n = 1}^{+\infty}\) --
      фундаментальная. Докажем это.
      
      Для этого рассмотрим некоторый \(\varepsilon_0 > 0\). Для него \[
        \exists{L_0} : \forall{x_1, x_2 > L_0}  \quad\quad \abs{\varphi(x_1) -
        \varphi(x_2)} < \varepsilon_0
      \]. Так как \(a_n \to +\infty\), \[
        \exists{N_0} : \forall{n > N_0} \quad\quad a_n > L_0
      \]. В частности, \(n_1, n_2 > N_0 \implies a_{n_1} > L_0\), \(a_{n_2} >
      L_0\). Тогда \(\abs{\varphi(a_{n_1}) - \varphi(a_{n_2})} <
      \varepsilon_0\), значит, последовательность фундаментальна, значит, она
      имеет предел.
      
      Обозначим \(\alpha \equiv \lim\limits_n \varphi(a_n)\). При заданном
      \(\varepsilon_0\) это значит \[
        \exists{N_0} : \forall{n > N_0} \quad\quad \abs{\varphi(a_n) - \alpha} <
        \varepsilon_0
      \]. Вновь, так как \(a_n \to +\infty\), \[
        \exists{N_1} : \forall{n > N_1} \quad\quad a_n > L_0
      \]. Рассмотрим некоторый \(m > \max\{N_0, N_1\}\), тогда \[
        \left\{\begin{array}{l}
          \abs{\varphi(a_m) - \alpha} < \varepsilon_0\\
          \abs{a_m > L_0} \\
        \end{array}\right.
      \]. Тогда \(\forall{x} > L_0\) имеем \(\abs{\varphi(x) - \varphi(a_m)} <
      \varepsilon_0\) (из посылки), а значит \(\abs{\varphi(x) - \alpha} <
      2\varepsilon_0\), что и означает \[
        \lim\limits_{x\to +\infty} \varphi(x) = \alpha
      \].
    \end{rightproof}
  \end{proof}
  
  \subsection{Свойства несобственного интеграла}
  \begin{enumerate}
    \item
      Что значит сходимость интеграла? Нужно сформулировать равносильные
      утверждения. \[
        \int\limits_a^{+\infty} f(x)dx \text{ -- сходится}
        \lim\limits_{A \to +\infty} \int\limits_a^A f(x)dx \text{ существует и
          конечен } \iff
        \lim_{A \to +\infty} F(A) - f(a) \text{ существует и конечен } \iff
        \lim_{A \to +\infty} F(A) \text{ существует и конечен } \iff
        \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{L} : \forall{a_1, a_2 > L}
          \pred{\abs{F(a_2) - F(a_1)} < \varepsilon} \iff
        \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{L} : \forall{a_1, a_2 > L}
          \pred{\abs{\int\limits_{a_2}^{a_1}f(x)dx} < \varepsilon}
      \].
    \item
      Если \(\int\limits_a^{+\infty} f(x)dx\) сходится и \(k \in \realnum\), то
      \(\int\limits_a^{\infty} kf(x)dx = k\int\limits_a^{\infty} f(x)dx\).
    \item
      Если \(f, g : [a, +\infty) \to \realnum\) и \(\int\limits_a^{+\infty}
      f(x)dx\), \(\int\limits_a^{+\infty} f(x)dx\) -- сходятся, то сходится и
      \(\int\limits_a^{+\infty} f(x)+g(x)dx\), и он равен
      \(\int\limits_a^{+\infty} f(x)dx + \int\limits_a^{+\infty} g(x)dx\).
    \item
      Если \(f(x) : [a, +\infty) \to \realnum\) и \(\int\limits_a^{+\infty}
      \abs{f(x)}dx\) сходится, то \(\int\limits_a^{+\infty} f(x)dx\) тоже
      сходится.  (в таких случаях говорят, что интеграл от \(f\)
      \defined[абсолютная сходимость]{сходится абсолютно}, либо он
      \defined[условная сходимость]{сходится условно}, если он сходится, а
      интеграл модуля -- нет).
      \begin{proof}
        Рассмотрим некоторые \(a_1, a_2 \int [a, +\infty) : a_2 > a_1\).
        Оценим интеграл: \[
          0 \le \abs{ \int\limits_{a_1}^{a_2} f(x)dx } \le
          \underbrace{\int\limits_{a_1}^{a_2} \abs{f(x)}dx}_{\to 0}
        \].
      \end{proof}
    \item
      Интегрирование по частям.  Если \(f(x), g(x) : [a, +\infty) \to
      \realnum\), то \[
        \int\limits_a^A f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) \Big|_a^A - \int\limits_a^A
        f'(x)g(x)dx
      \]. Перейдя к пределу, получим \[
        \int\limits_a^{+\infty} f(x)g'(x)dx = \lim_{A \to +\infty} f(A)g(A) -
        f(a)g(a) - \int\limits_a^{+\infty} f'(x)g(x)dx
      \].
    \item
      Замена переменной. \[
        \int\limits_a^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{+\infty}^0
        f\left(\frac{1}{x}\right) \left(-\frac{1}{x^2}\right)dx =
        \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{f(\frac{1}{x})}{x^2}dx
      \].
  \end{enumerate}
\section{Признаки сравнения}
  \begin{theorem}
    Рассмотрим функцию \(f : [a, +\infty)\), интегрируемую на любом конечном
    отрезке. Пусть она также сохраняет знак, начиная с \(a\).  Если \[
      \exists{L > 0} : \forall{A \in [a, +\infty)} \int\limits_a^A f(x)dx < L
    \], то \(\int\limits_a^{+\infty} f(x)dx\) сходится.
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Будем для определённости считать \(f\) неотрицательной. Иначе можно
    рассмотреть \(f = -f\).  Введём в рассмотрение одну из первообразных \(f\):
    \begin{align*}
      F(a) &= \int\limits_a^A f(x)dx &
      A&\in[a, +\infty)
    \end{align*}
    Сходимость \(\int\limits_a^{+\infty} f(x)dx\) означает, что \(\lim\limits_{A
    \to +\infty} F(A)\) существует и конечен.  Рассмотрим некоторые \(A_2 > A_1
    \le a\), и применим формулу Ньютона-Лейбница: \[
      F(A_2) - F(A_1) = \int\limits_{A_1}^{A_2} f(x)dx \ge 0
    \]. Значит, \(F(A)\) возрастает. \[
      \forall{A \in [a, +\infty)} F(A) = \int\limits_a^A f(x)dx < L
    \]. \(F(A)\) ограничена на рассматриваемой области. Но она также монотонна,
    а значит, имеет конечный предел. \[
      \lim_{A\to +\infty} F(A) = \sup_{A \in [a, +\infty)}F(A) =
      \int\limits_a^{+\infty} f(x)dx \ge \int\limits_a^A f(x)dx
    \].
  \end{proof}
  \begin{theorem}
    Пусть \(f, g : [a, +\infty) \to \realnum\) -- функции, интегрируемые на
    любом отрезке, \(f\) сохраняет знак, а \(g\) её мажорирует\footnote{всегда
    не меньше \(f\) по модулю}.  Тогда выполняются следующие два свойства:
    \begin{itemize}
      \item Если \(\int\limits_a^{+\infty} g(x)dx\) сходится, то и
        \(\int\limits_a^{+\infty} f(x)dx\) тоже сходится.
      \item Если \(\int\limits_a^{+\infty} f(x)dx\) расходится, то и
        \(\int\limits_a^{+\infty} g(x)dx\) тоже расходится.
    \end{itemize}
    \begin{proof}
      Рассмотрим некоторое \(A \in [a, +\infty)\). \[
        \int\limits_a^A f(x)dx \le \int\limits_a^A g(x)dx \le
        \int\limits_a^{+\infty} g(x)dx = L
      \]. Тогда \(\forall{A \in [a, +\infty)} \pred{\int\limits_a^A f(x)dx \le
      L}\), а значит, по предыдущей теореме, \(\int\limits_a^{+\infty} f(x)dx\)
      сходится.  Теперь нужно перейти к пределу в двойном неравенстве, и получим
      сходимость интеграла по \(g\).
      
      Второе свойство доказывается через первое от противного.
    \end{proof}
  \end{theorem}
\section{Предельные признаки сравнения}
  В этом параграфе будем рассматривать функции \(f, g : [a, +\infty)\to
  \realnum\), интегрируемые по любому отрезку и неотрицательные.
  \begin{theorem}
    Пусть существует \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = C\), \(C
    \in [0, +\infty]\).  Тогда
    \begin{enumerate}
      \item
        Если \(0 < C < +\infty\), то \(\int\limits_a^{+\infty} f(x)dx\) и
        \(\int\limits_a^{+\infty} g(x)dx\) имеют одинаковую сходимость.
      \item
        Если \(C = 0\), то
        \begin{align*}
          \int\limits_0^{+\infty} g(x)dx \text{ сходится } &\implies
            \int\limits_a^{+\infty} f(x)dx \text{ тоже сходится.} \\
          \int\limits_0^{+\infty} f(x)dx \text{ расходится } &\implies
            \int\limits_a^{+\infty} g(x)dx \text{ тоже расходится.}
        \end{align*}
      \item
        Если \(C = +\infty\), то
        \begin{align*}
          \int\limits_a^{+\infty} f(x)dx \text{ сходится } &\implies
            \int\limits_a^{+\infty} g(x)dx \text{ тоже сходится.} \\
          \int\limits_a^{+\infty} g(x)dx \text{ расходится } &\implies
            \int\limits_a^{+\infty} f(x)dx \text{ тоже расходится.}
        \end{align*}
    \end{enumerate}
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    \begin{enumerate}
      \item \(C \in (0, +\infty)\). Рассмотрим \(\varepsilon_0 = \frac{C}{2}\).
        Условие существования предела: \[
          \exists{a_1} : \forall{x \in [a, +\infty)}
          \pred{\abs{\frac{f(x)}{g(x)} - C} < \frac{c}{2}}
        \]. Тогда \[
          \frac{c}{2} g(x) < f(x) < \frac{3c}{2}g(x)
        \]. Из этого следует
        \begin{align*}
          f(x) &< C_1g(x) & C_1 &= \frac{3c}{2} \\
          g(x) &< C_2f(x) & C_2 &= \frac{2}{c}
        \end{align*}
        Применим это наблюдение. Если сходится \(\int\limits_{a_1}^{+\infty}
        g(x)dx\), то сходится \(\int\limits_{a_1}^{+\infty} C_1g(x)dx\),
        а значит, сходится и \(\int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)dx\). Перейдём по
        аддитивности к интегралу от \(a\) до \(+\infty\): \[
          \int\limits_a^{+\infty} g(x)dx = \int\limits_a^{a_1} g(x)dx + \int\limits_{a_1}^{+\infty} g(x)dx
        \]. Отсюда получаем сходимость начиная с \(a\). 
        
        Если сходится \(\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx\), то сходится
        \(\int\limits_{f}^{+\infty} g(x)dx\) -- доказывается аналогичными
        соображениями.  Получаем, что интегралы имеют одинаковую сходимость.
      \item \(C = 0\)
        Рассмотрим \(\varepsilon_0 = 1\). Для него верно \[
          \exists{a_1} : \forall{x \in [a, +\infty)} \pred{\frac{f(x)}{g(x)} < 1}
        \]. Обращаясь к предыдущим теоремам, получаем требуемое.
      \item \(C = +\infty\)
        Переворачиваем дробь и сводим задачу к п.\,2.
    \end{enumerate}
  \end{proof}
  \subsection{Семейства функций для сравнения}
    Хочется иметь некоторый набор функций, несобственные интегралы которых
    сходятся.  Оказывается, что подходит \(f(x) = \frac{1}{x^{\alpha}}\), где
    \(\alpha > 0\). Исследуем это семейство на сходимость.  Для начала
    рассмотрим \(\alpha \neq 1\). \[
      \int\limits_a^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}}dx = \lim_{A \to +\infty}
      \int\limits_a^A x^{-\alpha}dx = \lim_{A \to +\infty} \left(\frac{1}{1 -
      \alpha}x^{1 - \alpha} \right) \Bigg|_a^A = \frac{1}{1 - \alpha}\lim_{A \to
      +\infty}\frac{1}{A^{\alpha - 1}} - \frac{a^{1 - \alpha}}{1 - \alpha}
    \]. Тогда получаем
    \begin{align*}
      \alpha &> 1 & \int\limits_a^{+\infty} &\frac{dx}{x^{\alpha}} \text{ сходится} \\
      \alpha &\le 1 & \int\limits_a^{+\infty} &\frac{dx}{x^{\alpha}} \text{ расходится.} \\
    \end{align*}
    
%    Ещё есть набор такого вида (исследование на сходимость не приводится):
%    \(g(x) : [a, +\infty) \to [0, +\infty)\); \(f(x) = x^{\alpha}g(x)\)
%    \begin{align*}
%      \alpha &< 1 \implies \int\limits_a^{+\infty} f(x)dx \text{ расходится }\\
%      \alpha &> 1 \implies \int\limits_a^{+\infty} f(x)dx \text{ сходится.}\\
%    \end{align*}
    Более тонкий набор функций -- такого вида: \(f(x) =
    \frac{1}{x^{\alpha}\ln^{\beta} x}\), \(\alpha, \beta > 0\).
    \begin{align*}
      \int\limits_a^{+\infty} f(x)dx = \left\{
        \begin{array}{l l}
          \alpha > 1 & \text{ сходится} \\
          \alpha < 1 & \text{ расходится} \\
          \alpha = 1 & \left\{
            \begin{array}{l l}
              \beta > 1 & \text{ сходится} \\
              \beta \le 1 & \text{ расходится}
            \end{array}
          \right.
          \end{array}
        \right.
    \end{align*}
\section{Признаки Абеля и Дирихле}
  \subsection{Признак Дирихле}
      Сначала докажем теорему Дирихле\footnote{Её, правда, иногда тоже относят к
      Абелю. Сначала оба признака были для рядов, так что вообще эти слова
      условны.}:
    \begin{theorem}[признак Дирихле]
      Пусть имеются функции \(f, g : [a, +\infty) \to \realnum\), интегрируемы
      на любом отрезке.  Пусть нашлась константа \(L > 0\), такая, что \[
        \forall{A \in [a, +\infty)} \pred{\abs{\int\limits_a^A f(x) dx} \le L}
      \]. Пусть \(g(x)\) монотонна и \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 0\).
      Тогда \(\int\limits_a^{+\infty} f(x)g(x) dx\) сходится.
    \end{theorem}
    \begin{proof}
      Нужно воспользоваться таким условием: \[
        \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{L} : \forall{a_1, a_2 > L}
        \pred{\abs{ \int\limits_{a_1}^{a_2} f(x)g(x) dx} < \varepsilon}
      \]. Для этого рассмотрим некоторые \(a_2 > a_1 > a\). \[
        \abs{\int\limits_{a_1}^{a_2} f(x)dx } = \abs{ \int\limits_a^{a_2} f(x)dx
        - \int\limits_a^{a_1} f(x)dx} \le \abs{\int\limits_a^{a_2} f(x)dx} +
        \abs{\int\limits_a^{a_1} f(x)dx} \le 2L
      \]. Рассмотрим некоторый \(\varepsilon_0 > 0\). \[
        \exists{A_0} : \forall{x > A_0} \pred{\abs{g(x)} \le
        \frac{\varepsilon_0}{4L}}
      \]. Рассмотрим некоторые \(a_2 > a_1 > A_0\). Здесь пришло время
      воспользоваться второй теоремой о среднем. \[
        \exists{c \in [a_1, a_2]} : \abs{\int\limits_{a_1}^{a_2} f(x)g(x) dx} =
        \abs{ g(a_1)\int\limits_{a_1}^cf(x)dx + g(a_2) \int\limits_c^{a_2}
        f(x)dx} \le \abs{g(a_1)} \abs{\int_{a_1}^c f(x)dx } +
        \abs{g(a_2)}\abs{\int\limits_c^{a_2} f(x)dx} \le
        \frac{\varepsilon_0}{4L}2L + \frac{\varepsilon_0}{4L}2L = \varepsilon_0
      \].
    \end{proof}
  \subsection{Признак Абеля}
    \begin{theorem}[признак Абеля]
      Пусть имеются функции \(f, g : [a, +\infty) \to \realnum\), интегрируемы
      на любом отрезке.  Пусть \(f\) такая, что \(\int\limits_a^{+\infty}
      f(x)dx\) сходится.  \(g(x)\) не возрастает, и \[
        \exists{L > 0} : \forall{x \in [a, +\infty)} \pred{\abs{g(x)} < L} 
      \]. Тогда \(\int\limits_a^{+\infty} f(x)g(x) dx\) сходится.
    \end{theorem}
    \begin{proof}
      Рассмотрим некоторый \(\varepsilon_0 > 0\).  Тогда  \[
        \exists{A_0} : \forall{a_2 > a_1 > A_0}
        \pred{\abs{\int\limits_{a_1}^{a_2} f(x)dx} < \frac{\varepsilon_0}{4L}} 
      \]. Рассмотрим некоторые \(a_2 > a_1 > A_0\). \[
        \exists{c \in [a_1, a_2]}: \abs{\int\limits_{a_1}^{a_2} f(x)g(x)dx} =
        \abs{g(a_1)\int\limits_{a_1}^c f(x)dx + g(a_2) \int\limits_c^{a_2}
        f(x)dx} \le \abs{g(a_1)}\abs{\int\limits_{a_1}^cf(x)dx} +
        \abs{g(a_2)}\abs{\int\limits_{c}^{a_2}f(x)dx} \le
        L\frac{\varepsilon}{2L} + L\frac{\varepsilon}{2L} = \varepsilon_0
      \].
    \end{proof}
\section{Формулы Фруллани}
  \begin{theorem}[первая формула Фруллани]
    Пусть имеется \(f : [a, +\infty) \to \realnum\), непрерывная и имеет предел
    \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\), а \(a\) и \(b\) -- некоторые
    положительные числа, \(b > a\).  Тогда оказывается, что \[
      \int\limits_0^{+\infty} \frac{f(bx) - f(ax)}{x}dx = \Big(\lim\limits_{x
      \to +\infty} f(x) - \lim\limits_{x \to 0+}f(x)\Big) \ln\frac{b}{a}
    \].
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    \[
      \int\limits_0^{+\infty} \frac{f(bx) - f(ax)}{x}dx =
      \lim\limits_{\substack{\alpha \to 0+ \\ \beta \to +\infty}}
        \int\limits_{\alpha}^{\beta} \frac{f(bx) - f(ax)}{x}dx = 
      \lim\limits_{\substack{\alpha \to 0+ \\ \beta \to +\infty}}
        \left(\int\limits_{\alpha}^{\beta} \frac{f(bx)}{x}dx -
        \int\limits_{\alpha}^{\beta} \frac{f(ax)}{x}dx\right) =  
      \lim\limits_{\substack{\alpha \to 0+ \\ \beta \to +\infty}}
        \left(\int\limits_{b\alpha}^{b\beta} \frac{f(x)}{x}dx -
        \int\limits_{a\alpha}^{a\beta} \frac{f(x)}{x}dx\right) =
      \lim\limits_{\substack{\alpha \to 0+ \\ \beta \to +\infty}}
        \left(\int\limits_{a\beta}^{b\beta} \frac{f(x)}{x}dx -
        \int\limits_{a\alpha}^{b\alpha} \frac{f(x)}{x}dx\right) =
      \lim\limits_{\substack{\alpha \to 0+ \\ \beta \to +\infty}}
        \left(\int\limits_{a\beta}^{b\beta} \frac{f(x)}{x}dx -
        \int\limits_{a\alpha}^{b\alpha} \frac{f(x)}{x}dx\right) =
      \lim\limits_{\beta \to +\infty} \int\limits_{a\beta}^{b\beta}
        \frac{f(x)}{x}dx - \lim\limits_{\alpha \to 0+}
        \int\limits_{a\alpha}^{b\alpha} \frac{f(x)}{x}dx = \mathref{1}
    \]. Теперь применим первую теорему о среднем. \[
      \exists{c_1 \in [a\beta, b\beta], c_2 \in [a\alpha, b\alpha]} :
      \mathref{1} = f(c_1)\lim\limits_{\beta \to
      +\infty}\int\limits_{a\beta}^{b\beta} \frac{1}{x}dx -
      f(c_2)\lim\limits_{\alpha \to 0+}\int\limits_{a\alpha}^{b\alpha}
      \frac{1}{x}dx = \left(\lim\limits_{\beta \to +\infty}f(c_1) -
      \lim\limits_{\alpha \to 0+}f(c_2)\right) \ln\frac{b}{a}
    \]. Теперь применим теорему о двух стражах порядка для \(c_1\) и \(c_2\):
    \begin{align*}
      \underbrace{a\beta}_{\to +\infty} < &c_1 < \underbrace{b\beta}_{\to +\infty} &
      \underbrace{a\alpha}_{\to 0+} < &c_2 < \underbrace{b\alpha}_{\to 0+} \\
      \implies \lim\limits_{\beta \to +\infty} f(c_1) &= \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) & 
      \implies \lim\limits_{\alpha \to 0+} f(c_2) &= \lim\limits_{x \to 0+} f(x) \\
    \end{align*}
  \end{proof}
  
  \begin{theorem}[вторая формула Фруллани]
    Если \(\int\limits_A^{+\infty} \frac{f(x)}{x}dx\) сходится, то
    \(\lim\limits_{\beta \to +\infty} \int\limits_{a\beta}^{b\beta}
    \frac{f(x)}{x}dx = 0\)
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    \[
      \int\limits_0^{+\infty} \frac{f(bx) - f(ax)}{x}dx =
      \left(-f(0)\ln\frac{b}{a}\right)
    \].
  \end{proof}
  \begin{theorem}[третья формула Фруллани]
    Если \(\int\limits_{0}^{A}\frac{f(x)}{x}dx\) сходится, то
    \(\lim\limits_{\alpha \to 0+} \int\limits_{a\alpha}^{b\alpha}
    \frac{f(x)}{x}dx = 0\).
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    \[
      \int\limits_0^{+\infty} \frac{f(bx) - f(ax)}{x}dx =
      \left(f(+\infty)\ln\frac{b}{a}\right)
    \].
  \end{proof}
  
\section{Интегралы в смысле главного значения}
  \definition[интеграл в смысле главного значения]{
    Рассмотрим \(f(x) : \realnum \to \realnum\), интегрируемую на любом отрезке.
    \[
      \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{-\infty}^a f(x)dx +
      \int\limits_a^{+\infty} f(x)dx = \lim\limits_{A_1 \to -\infty}
      \int\limits_{A_1}^a f(x)dx + \lim\limits_{A_2 \to +\infty}
      \int\limits_a^{A_2} f(x)dx
    \]. Если \(f(x)\) нечётна, то \(\int\limits_{-a}^a f(x)dx = 0 ~ \forall{a}\).
    
    Вместо того, чтобы делать как выше, можно попробовать рассмотреть такой
    предел: \[
      \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \lim\limits_{A \to +\infty}
      \int\limits_{-A}^{+A} f(x)dx
    \]. Такой интеграл называют \defined{интегралом в смысле главного значения}.
    Легко заметить, что там, где первый интеграл существовал, второй тоже
    существует и равен ему; но там, где он не существует, второй может
    существовать.
  }

  Любую функцию можно представить в виде суммы чётной и нечётной. Если мы хотим
  посчитать интеграл в смысле главного значения, то можно под знаком интеграла
  заменить \(f\) на сумму её чётной части и нечётной. Это сразу же можно
  записать в сумму интегралов и даже в сумму пределов: \[
    \lim\limits_{A \to +\infty} \int\limits_{-A}^{+A} f(x)dx =
    \underbrace{\lim\limits_{A \to +\infty} \int\limits_{-A}^{+A} \frac{f(x) -
    f(-x)}{2}dx}_{=0} + \lim\limits_{A \to +\infty} \int\limits_{-A}^{+A}
    \frac{f(-x) + f(x)}{2}dx = 2\lim\limits_{A \to +\infty} \frac{f(-x) +
    f(x)}{2}dx = \int\limits_0^{+\infty} \left(f(-x) + f(x)\right)dx
  \]. 

\section{Несобственные интегралы II рода}
  \definition[несобственный интеграл II рода]{
    Пусть имеется \(f(x) : [a, b)\), интегрируемая на любом собственном
    подотрезке \([a, b)\), а в точке \(b\) <<ведёт себя плохо>>: \[
      \lim\limits_{x \to b} f(x) = \infty
    \]. (если \(f(x)\) неограниченная).
    
    Определим \defined{несобственный интеграл II рода}: \[
      \int\limits_a^b f(x)dx = \lim\limits_{B \to b-} \int\limits_a^B f(x)dx
    \].
  }

  Несобственный интеграл II рода сводится к интегралу I рода заменой переменной:
  \begin{align*}
    t &= \frac{1}{b - x} &
    \lim\limits_{B \to b-} \int\limits_a^B f(x)dx &= \int\limits_{\frac{1}{b -
    a}}^{\frac{1}{b - B} \to +\infty} f\left(b - \frac{1}{t}\right)
    \frac{dt}{t^2} = \int\limits_{\frac{1}{b - a}}^{+\infty} f\left(b -
    \frac{1}{t}\right) \frac{dt}{t^2}
  \end{align*}
  Таким образом все свойства несобственного интеграла I рода распространяются на
  II род. Их лучше посмотреть в учебнике, а не сводить каждый раз всё при помощи
  замены.

  Также возникают ситуации, когда \(f(x) : (a, c) \to \realnum\), \(b \in (a,
  c)\), и в точке \(b\) функция себя ведёт плохо.  Здесь, казалось бы, нужно
  разбить на два интеграла и рассматривать каждый в отдельности; это правильно,
  но устремлять границы к \(b\) нужно вместе (та же идея, что и для интеграла в
  смысле главного значения).
  

